«Теорема о невозможности демократии»

В предыдущих постах (1, 2) мы обсудили шесть ключевых теорем экономики: теорему Эрроу-Дебрё (о существовании конкурентного рыночного равновесия), первую фундаментальную теорему благосостояния и теорему Коуза (об эффективности рынка), вторую фундаментальную теорему благосостояния и теорему Познера (о необходимости госвмешательства), а также теорему Вэриана (о том, что в условиях равенства доходов рыночный обмен не даёт поводов для зависти). Замыкает шествие теорема Эрроу, также известная как третья фундаментальная теорема благосостояния или «теорема о невозможности демократии». Её мы и обсудим в этом посте.

Эту теорему доказал в 1951 году американский экономист Кеннет Эрроу, поэтому она и носит его имя. Однако называть её «теоремой о невозможности демократии» всё же неправильно: это кликбейт, теорема Эрроу не совсем об этом. Наверное, более правильно было бы называть её теоремой о невозможности идеальной избирательной системы.

Но что такое избирательная система? Это способ определения общественных предпочтений. (Вообще говоря, проблема агрегирования индивидуальных предпочтений в предпочтения общественные — именно для этого придуманы выборы — это одна из сложнейших проблем теории принятия решений. Её также называют проблемой коллективного выбора.) Итак, выражаясь математически, избирательная система — это такая функция, которая берёт на вход предпочтения отдельных граждан (относительно кандидатов), а на выходе выдаёт предпочтения общества в целом.

Избирательные системы бывают разные, однако в конституцию можно вписать только одну из них. Но как её выбрать? Сперва было бы разумно предъявить к ней какие-то требования. Как минимум, хотелось бы, чтобы избирательная система удовлетворяла следующим четырём условиям (аксиомам):

  1. универсальность (какими бы ни были предпочтения граждан, избирательная система должна выдавать какие-то результаты);
  2. отсутствие диктатора (выбор общества не должен определяться одним человеком, предпочтения остальных тоже должны как-то учитываться);
  3. монотонность общественных предпочтений (чем больше гражданам нравится какой-то кандидат, тем выше он должен быть в итоговом списке);
  4. независимость предпочтений от посторонних альтернатив (кандидаты-спойлеры не должны менять относительную предпочтительность остальных кандидатов).

Так вот по теореме Эрроу, ни одна избирательная система не может соответствовать всем четырём аксиомам сразу. Это просто невозможно математически.

На практике это значит, что от какого-то требования придётся отказаться. В частности, если мы сохраняем аксиомы 1 и 2 (хочется, чтобы система работала всегда, но при этом очень не хочется иметь диктатора), то придётся пожертвовать либо аксиомой 3 (и тогда кандидаты, пользующиеся поддержкой большинства граждан, могут проигрывать выборы), либо аксиомой 4 (и тогда выборы будут манипулируемы, то есть могут срабатывать кандидаты-спойлеры). Получается, что идеальная (в смысле аксиом) избирательная система невозможна даже теоретически.

Теорема Эрроу напоминает нам ещё о двух важных вещах.

  • Во-первых, насколько важно ответственно подходить к дизайну экономических механизмов (к установлению тех самых правил игры). В данном случае, выбирая избирательную систему, мы по сути стараемся выбрать меньшее из нескольких зол.
  • И во-вторых, что нельзя просто так вводить произвольный набор аксиом и слепо на них полагаться. В экономике, также как и в математике, прежде чем использовать аксиомы для доказательства каких-то результатов, сперва принято доказывать, что эти аксиомы не противоречат друг другу.

Ну и давайте проясним, почему теорема Эрроу не вполне «теорема о невозможности демократии». Ведь что такое демократия? Это такой политический режим, при котором власть избирается обществом (а не самой властью). Но даже если идеальная избирательная система невозможна, то это ещё не значит, что не может быть работающей демократии в данном определении.

См. также:

  • Работа Кеннета Эрроу, в которой впервые была сформулирована теорема.
  • Одно доказательство теоремы можно найти на Википедии, другое — здесь.
  • Видео Дмитрия Побединского об избирательных системах и теореме Эрроу.

Об эволюции и эволюционной эффективности человеческих предпочтений — в следующем посте.