К кривым безразличия небезразличен

или
Почему, когда MRS убывает, кривые безразличия вогнутые?

Предельная норма замещения (MRS) убывает — в микроэкономике это утверждение очень часто принимается в качестве аксиомы. Геометрически оно означает, что [при условии локальной ненасыщаемости обоими благами] кривые безразличия должны быть вогнутыми (иначе говоря, выпуклыми к началу координат). Эта интерпретация интуитивно понятна, а потому её вывод авторы учебников обычно опускают. Вывод, однако, не очевиден, к тому же содержателен с математической точки зрения.

Давайте покажем, что если MRS убывает, то кривые безразличия действительно должны быть вогнутыми. Между прочим, мы также продемонстрируем, что положительность второй производной убывающей функции приводит к её вогнутости.

В чём экономическое значение этого доказательства? По сути мы выведем глобальное свойство вогнутости (сбалансированные товарные наборы предпочтительнее экстремальных) из локального свойства убывания предельной нормы замещения (чем больше благ X в товарном наборе фиксированной полезности, тем меньше количество благ Y, которым потребитель готов пожертвовать ради получения одного дополнительного блага X).

Содержание
I. Предельная норма замещения: определение, экономический смысл, графическая интерпретация и связь со второй производной [перейти]
II. Вогнутость: определение через неравенство Йенсена, графическая интерпретация и экономический смысл [перейти]
III. Геометрическая постановка задачи [перейти]
IV. Теорема Лагранжа о среднем значении: формулировка и геометрическая интерпретация [перейти]
V. Доказательство утверждения от противного [перейти]
VI. Обобщение результатов [перейти]

I. Первым делом определим MRS. Рассмотрим функцию полезности $u(x,y)$ и одну из её кривых безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ , соответствующую уровню полезности $\overline{u}$ . Тогда предельная норма замещения блага Y благом X (MRS of X for Y) в точке $x$ определяется так:

$MRS_{XY}(x)= \lim_{\Delta x\to 0} \left( -\frac{\Delta y}{\Delta x}\bigg|_{u(x,y)=\overline{u}} \right) =-\frac{dy}{dx}\bigg|_{u(x,y)=\overline{u}}=-\frac{d f(x)}{d x},$

где $y=f(x)$ — функция, задающая кривую безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ , то есть

$u(x,y)=\overline{u} \ \ \Leftrightarrow \ \ y=f(x).$

Пусть в данный момент индивид находится на кривой безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ , задаваемой функцией $y=f(x)$ , и потребляет товарный набор $(x,y).$ Тогда значение функции $MRS_{XY}(x)$ в точке $(x,y)$ есть количество благ Y, которым он готов пожертвовать ради получения одного дополнительного блага X [при условии, что он останется на том же уровне полезности $\overline{u}$ ]. Поэтому убывание MRS [с ростом $x$ ] означает, что чем больше благ X в товарном наборе, тем меньшим количеством благ Y потребитель готов жертвовать ради одной дополнительной единицы блага X.

Геометрически MRS есть минус тангенс угла наклона касательной к кривой безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ в точке $(x,y)$ . Пояснение: под углом наклона здесь понимается не «алгебраический» угол, отсчитываемый против часовой стрелки от направления, указываемого осью X, а обычный «геометрический» угол, то есть меньший из углов, образуемых касательной и осью X.

Значит, убывающая MRS означает, что для любых $x_1<x_2$ касательная к кривой безразличия в точке $x=x_2$ будет более пологой, по сравнению с касательной в точке $x=x_1$ (т.е. что $\alpha>\beta$ ).

Отметим, что MRS может убывать с ростом $x$ не только когда кривая безразличия имеет отрицательный наклон [и вогнута], но и когда она возрастает, будучи выпуклой вверх (например, при $u(x,y)=y-\sqrt{x}$ уравнение кривой безразличия имеет вид $y=\overline{u}+\sqrt{x}$ ). В таких неконвенциональных случаях не выполняется аксиома локальной ненасыщаемости для блага X (благо X — «плохое», благо Y — «хорошее»), отчего условие убывающей MRS приводит не к вогнутости кривых безразличия, а, как раз наоборот, к их выпуклости. Мы не собираемся рассматривать такие ситуации, поэтому вплоть до конца статьи предполагаем, что кривые безразличия убывают, то есть оба блага являются «хорошими» (локальная ненасыщаемость выполнена для них обоих).

Для убывающей кривой безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ убывание MRS равносильно положительности второй производной функции $f(x)$ , задающей эту кривую безразличия:

$\forall x_1<x_2\ \ MRS_{XY}(x_1)>MRS_{XY}(x_2)\ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{d^2 f(x)}{d x^2}>0.$

Докажем это алгебраически:

$MRS_{XY}(x)\downarrow \ \Rightarrow \frac{d}{dx} MRS_{XY}(x) <0 \Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{d}{dx} \left(-\frac{df(x)}{dx}\right)<0 \Rightarrow \frac{d^2 f(x)}{d x^2}>0.$

И объясним интуитивно: MRS убывает с ростом $x$ , значит «геометрический» угол наклона касательной уменьшается. Поэтому растёт «алгебраический» угол наклона касательной (т.к. он является смежным c «геометрическим»), а вместе с ним растёт и его тангенс. Из-за этого растёт $f'(x)$ — первая производная функции $f(x)$ , задающей рассматриваемую кривую безразличия (ведь тангенс «алгебраического» угла наклона касательной к функции и есть производная этой функции). Наконец, рост первой производной равносилен положительности второй производной.

II. Теперь давайте определим вогнутость. Функция $f(x)$ называется вогнутой [на своей области определения], если для любых $x_1<x_2$ [из области определения] и любого $\lambda\in(0,1)$ выполняется следующее неравенство Йенсена:

$f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)< \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2).$

В левой части этого неравенства записано значение функции в произвольной точке интервала $(x_1, x_2)$ , а именно в точке $x=\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2$ . В правой части — высота соответствующей точки отрезка, соединяющего точки A $(x_1, f(x_1))$ и B $(x_2, f(x_2))$ . Поэтому геометрический смысл неравенства Йенсена состоит в том, что $f(x)$ — вогнутая функция тогда и только тогда, когда на любом интервале $(x_1, x_2)$ её график лежит строго под отрезком, соединяющем его концы. Какие бы точки A и B на кривой безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ (она же $y=f(x)$ ) мы ни выбрали, кривая обязательно будет ниже хорды AB.

Заметим, что товарные наборы A $(x_1,y_1)$ и B $(x_2,y_2)$ довольно экстремальны (они содержат много одного блага и мало другого), в то время как их линейная комбинация — набор $( \lambda x_1 + (1-\lambda) x_2, \lambda y_1 + (1-\lambda)y_2 )$ — относительно более сбалансирован. Неравенство Йенсена [задающее вогнутость кривых безразличия] гласит, что этот товарный набор должен лежать на более высокой кривой безразличия чем наборы A и B. Поэтому, с точки зрения экономики, вогнутость кривых безразличия означает, что потребитель предпочитает сбалансированные товарные наборы экстремальным.

III. Итак, нужно доказать, что если (1) кривая безразличия убывает с ростом $x$ и (2) MRS убывает с ростом $x$ , то кривая безразличия лежит ниже любой своей хорды (то есть при любых $x_1<x_2$ для неё выполняется неравенство Йенсена, определяющее вогнутость функции). Иначе говоря, нужно доказать, что над любой хордой AB (и на самой хорде, за исключением её концов) нет ни одной точки, принадлежащей кривой безразличия $u(x,y)=\overline{u}$ .

IV. Чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся теоремой Лагранжа о среднем значении (Mean Value Theorem). Согласно этой теореме, если функция $f(x)$ непрерывна и дифференцируема на отрезке $[x_1, x_2]$ , то обязательно найдётся такая точка $x_K\in(x_1, x_2)$ , что

$f'(x_K)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$

Проще говоря, касательная к графику $f(x)$ хотя бы в одной из точек интервала $(x_1, x_2)$ должна быть параллельна отрезку, соединяющему его концы. Например, на рисунке ниже касательная к $f(x)$ в точке $x=x_K$ параллельна отрезку AB.

V. Теперь всё готово, чтобы произвести доказательство от противного. Предположим, что (1) кривая безразличия убывает и (2) MRS убывает, но существует хотя бы одна точка C, принадлежащая кривой безразличия и при этом лежащая выше некоторой хорды AB или на ней (C не совпадает ни с A, ни с B).

A и B — точки на кривой безразличия с абсциссами $x_1$ и $x_2$ соответственно, причём $x_1<x_2$ . Поскольку кривая безразличия убывает, то точка A лежит выше точки B, то есть отрезок AB имеет отрицательный наклон. Поскольку MRS убывает, то с ростом $x$ касательная к кривой безразличия становится более пологой (поэтому, например, $\alpha>\beta$ , ведь точка B лежит правее A).

Итак, над хордой AB нашлась принадлежащая кривой безразличия точка C с абсциссой $x_3$ . Проведём через A горизонтальную прямую $l$ .

Случай 1. Точка C лежит выше прямой $l$ (или на ней).

Тогда нарушается предположении об убывании кривой безразличия (точка C лежит правее точки A, но при этом не ниже неё). Противоречие.

Случай 2. Точка C лежит ниже прямой $l$ .

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть $\gamma$ — угол наклона отрезка AC, а $\delta$ — угол наклона отрезка CB. В силу конфигурации треугольника (AB имеет отрицательный наклон, C над AB, но ниже A), имеем: $\gamma\le\delta$ (равенство достигается, когда C лежит на AB).

Точки A и C ограничивают участок непрерывной дифференцируемой кривой безразличия, поэтому по теореме Лагранжа на интервале $(x_1, x_3)$ найдётся точка $K$ , касательная в которой будет параллельна отрезку AC. Поскольку отрезок AC имеет угол наклона $\gamma$ , то касательная к кривой безразличия в точке $x=x_K$ также будет иметь угол наклона $\gamma$ .

Аналогично, точки C и B ограничивают [другой] участок [той же] непрерывной дифференцируемой кривой безразличия, поэтому по теореме Лагранжа на интервале $(x_3, x_2)$ найдётся точка $M$ , касательная в которой будет параллельна отрезку CB. Поскольку отрезок CB имеет угол наклона $\delta$ , то касательная к кривой безразличия в точке $x=x_M$ также будет иметь угол наклона $\delta$ .

Итак, в точке $x=x_K$ угол наклона касательной к кривой безразличия составляет $\gamma$ , в точке $x=x_M$ угол наклона касательной равен $\delta$ , при этом $x_K<x_M$ (т.к. отрезок AC лежит левее отрезка CB). По предпосылке об убывающей MRS должно выполняться неравенство $\gamma>\delta$ (касательная к кривой безразличия в левой точке K должна быть круче касательной в правой точке M). Но выше мы показали, что $\gamma\le\delta$ , т.е. условие убывающей MRS нарушается. Противоречие.

Отметим, что такое доказательство (через противоречие с предпосылкой об убывающей MRS) действует и в случае 1. Однако там работает и более простое доказательство — через противоречие с предпосылкой об убывании самой кривой безразличия.

Вывод: ни одна точка кривой безразличия не может лежать выше её хорды. Это эквивалентно соблюдению неравенства Йенсена, определяющему вогнутую функцию, поэтому кривая безразличия должна быть вогнута.

VI. Итак, мы показали геометрически, как убывающая MRS приводит к вогнутости кривых безразличия [при условии локальной ненасыщаемости обоими благами — отрицательном наклоне кривых]. Поэтому падение [с ростом количества блага X] готовности жертвовать благами Y ради блага X (локальное свойство) влечёт предпочтительность сбалансированных товарных наборов экстремальным (глобальное свойство).

Обобщая, [для любой убывающей функции $f(x)$ ] мы доказали следующее утверждение:

$\begin{equation*}\forall x_1<x_2\ \ MRS_{XY}(x_1)>MRS_{XY}(x_2) \Rightarrow\end{equation*}$

$\begin{equation*}\Rightarrow\forall x_1<x_2, \forall \lambda\in(0,1)\ \ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)< \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2).\end{equation*}$

Пришло время вспомнить, что [для убывающей функции] убывающая MRS равносильна положительной второй производной. Значит, мы также доказали, что [для любой убывающей функции] верно:

$\begin{equation*}\frac{d^2 f(x)}{d x^2}>0\Rightarrow\end{equation*}$

$\begin{equation*}\Rightarrow\forall x_1<x_2, \forall \lambda\in(0,1)\ \ f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)< \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2).\end{equation*}$