Карантиномика. Часть 2

Дополнено 01.04.2020. Исправлено 16.04.2020.

Содержание
I. Вступление в формате Q&A
II. Резюме первой части
III. Макроэкономическая модель карантинной экономики:
III.1. Сколько в экономике целевых встреч, а сколько случайных?
III.2. С каким темпом в обществе распространяется инфекция?
III.3. Как сдержать эпидемию с минимальным экономическим ущербом?
III.4. Почему карантин так эффективен?
IV. Итоги: что делать?
V. Ссылки (часть 2)

Задача статьи «Карантиномика. Часть 2» — продемонстрировать с помощью математической модели, как карантин и другие профилактические меры могут «задушить» эпидемию коронавируса, сравнить их эффективность, и показать, как эти меры влияют на ВВП страны. Эмпирический анализ проблемы карантина и общий обзор карантинной экономики даны в предыдущей статье «Карантиномика. Часть 1».

I. Вступление в формате Q&A

Q: Нужно ли читать первую часть?
A: Необязательно, но желательно. Идея, на которой базируется модель (целевые и случайные встречи), подробно описана в предыдущей статье «Карантиномика. Часть 1», и хотя краткое резюме первой части будет сделано ниже, полезно изучить её полную версию.
Q: Зачем нужна абстрактная теоретическая модель такого реального явления как эпидемия коронавируса, когда есть много практической информации типа статистики и медицинских рекомендаций?
A: Теоретическая модель — это в первую очередь возможность понять, как устроено то или иное явление, разобраться в его структуре. Это способ думать о предмете, интерпретировать эмпирические данные и делать наглядными такие неинтуитивные тезисы, как, например, тезис об эффективности карантинных мер. Абстрактность модели — плата за понимание, которое она даёт: модель позволяет сконцентрироваться на тех факторах, которые кажутся наиболее важными, и проанализировать существующие между ними взаимосвязи. Для этого необходимо игнорировать менее существенные, но не менее реальные факторы, поэтому модель всегда есть некоторое упрощение реальности. Всё это относится и к модели, изложенной здесь.
Q: Чтобы понять суть, обязательно читать все формулы?
A: Нет. Модель, приведённая в этой статье, в значительной степени графическая, это делает её результаты более наглядными. Если у Вас нет желания разбираться в деталях, то автор рекомендует обратить внимание на иллюстрации, резюме первой части и итоги второй.

II. Резюме первой части

Карантин работает: он позволяет сломить экспоненциальный рост числа больных коронавирусом и снизить нагрузку на систему здравоохранения. Задача карантина — сначала снизить темпы роста числа больных $\omega$ с естественного положительного значения до нуля, а затем и вовсе сделать их отрицательными ( $\omega<0$ ), чтобы число больных стало сокращаться и в итоге все больные излечились.
Число больных в России продолжает расти экспоненциально ( $\omega>0$ ), поэтому профилактические меры, принятые на 24 марта 2020 г., недостаточны: необходим жёсткий карантин.
Жизнь общества — набор целевых и случайных встреч. Большинство целевых встреч между людьми включает экономические трансакции (сделки купли-продажи), поэтому ВВП как совокупный доход населения возникает непосредственно из множества целевых встреч.

Случайные встречи — это ненамеренные пересечения, которые неизбежно происходят между людьми по пути на целевые встречи. Распространение инфекции (рост числа больных) — результат большого количества случайных встреч.
Карантин — это заморозка экономики, влекущая падение ВВП. Сокращение количества целевых встреч вызывает снижение количества случайных встреч, в результате чего сдерживается эпидемия, но также падает и средний душевой доход (см. рис. 5).

III.1. Сколько в экономике целевых встреч, а сколько случайных?

Рассмотрим общество, состоящее из $N$ человек. Каждый день люди совершают по несколько целевых встреч. Если в среднем один человек совершает $d$ целевых встреч в течение суток, то суммарное количество целевых встреч в экономике есть $Nd/2$ (в каждой встрече задействованы два человека, поэтому делим на $2$ , чтобы избежать двойного подсчёта). Число $d$ можно считать уровнем деловой активности населения.

Пусть $e$ — средняя продуктивность одной целевой встречи (средняя величина трансакции в денежном выражении). Тогда ВВП экономики за сутки ( $Y$ ) есть произведение продуктивности одной трансакции и суммарного количества целевых встреч, происходящих в течение суток:

$\boxed{Y=e\times\frac{Nd}{2}.}$

Видно, что ВВП (как и количество целевых встреч) линейно зависит от численности населения и его деловой активности. Количество случайных встреч $C$ зависит от тех же параметров не линейно, а квадратично:

$C=\gamma N^2 d^2,$

где $\gamma$ — некоторый положительный коэффициент (чуть позже мы разберёмся, в чём его смысл). Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, смоделируем общественную жизнь следующим образом. [Если вы готовы просто поверить в этот результат, то посмотрите иллюстрации и сразу переходите сюда.]

Рассмотрим город с населением в $N$ человек. Дальнейший анализ проводится для города, но результаты модели можно также распространить на отдельную страну или весь мир в целом.

Изобразим город в виде круга и положим, что люди живут на его окружности (спальные районы). Пусть в течение суток жители A и B (см. рис. 6, слева) проводят целевую встречу. Будем считать, что встреча происходит внутри круга (большая часть экономической активности сосредоточена в центре города), а именно в одной из точек отрезка, соединяющего дома жителей A и B, — точке AB. Чтобы попасть на встречу, человек A преодолевает путь от своего дома (точка A) до места встречи (точка AB), аналогично человек B направляется из B в AB. По завершении встречи (которая, вероятно, включала трансакцию, входящую в ВВП города) оба человека возвращаются обратно к себе домой, а затем отправляются на следующие встречи (например, на рис. 6 справа видно, что в течение того же дня житель B также проводит целевую встречу с жителем E в некоторой точке BE). С некоторой натяжкой можно считать, что точки типа AB и BE — это магазины, школы, банки, кафе и прочие места, где встречаются люди (покупатели и кассиры, ученики и учителя, клиенты и служащие банков, посетители кафе и официанты), а пути, ведущие к этим точкам из домов жителей, — улицы, общественный транспорт и коридоры различных учреждений.

рис. 6: Дома жителей стилизованного города располагаются на его периферии — на окружности. Деловая активность (целевые встречи) происходит в центре города — внутри круга.

Итак, в точке AB проходит целевая встреча между жителями A и B. Предположим, что в течение того же дня жители C и D тоже проводят целевую встречу в некоторой точке CD. На рис. 6 справа видно, что путь человека A в точку AB и путь человека C в точку CD пересекаются в точке ABCD (отмечена жёлтым). Возможно, что по пути на свои целевые встречи и/или на обратном пути домой A и C случайно окажутся в одном месте (точке ABCD) в одно время (например, сядут в вагоне поезда на соседние места). Если один из двух жителей болен, то в этот момент с некоторой вероятностью $p$ инфекция может перекинуться и на другого. Таким образом, случайная встреча в точке ABCD, если произойдёт (а происходит она с вероятностью $\gamma_0=12\gamma$ ), может стать новым случаем заражения.

На рис. 7 изображён один день стилизованного микрогорода из $N=12$ человек. Поскольку каждая целевая встреча вносит вклад $e$ в дневной ВВП этого города, то о размере ВВП можно судить по густоте сети: чем больше линий, тем больше ВВП (рис. 7 слева). С другой стороны, по числу пересечений этих линий (жёлтых точек) можно определить темпы распространения вируса, поскольку каждая жёлтая точка — это потенциальная случайная встреча. Вопрос: если жителей всего $N$ и в течение суток каждый в среднем участвует в $d$ целевых встречах, то каково число случайных встреч $C$ ?

рис. 7: ВВП пропорционален количеству целевых встреч — густоте сети. Потенциальные случайные встречи — пересечения линий (жёлтые точки) — приводят к распространению вируса.

Давайте на секунду допустим, что за сутки каждый из $N$ жителей встретился с каждым из остальных $N-1$ жителей — проведены все возможные линии в количестве $N(N-1)/2$ (возникает так называемый полный граф). Рассмотрим любую четвёрку жителей (например, A, B, C и D), согласно сделанному предположению, каждый из них встречается с каждым, поэтому, как видно из рис. 6 справа, непременно возникает потенциальная случайная встреча — жёлтая точка ABCD. Поскольку каждой четвёрке жителей соответствует одна жёлтая точка, то количество жёлтых точек равно количеству всевозможных четвёрок жителей. Всего существует

$C_N^4=\frac{N(N-1)(N-2)(N-3)}{4!}\approx \frac{1}{24} N^4$

способов выбрать четыре жителя из $N$ , а значит количество жёлтых точек в полном графе примерно равно $N^4 /24$ (нам важно лишь, что в число сочетаний $C_N^4$ переменная $N$ входит в степени 4). Визуализацию этого рассуждения можно посмотреть здесь.

Вспомним, что на самом деле в среднем каждый житель участвует лишь в $d$ целевых встречах ( $d<<N$ ), а их суммарное количество равно $Nd/2$ (вместо $N(N-1)/2$ , как это было в полном графе). Рассмотрим произвольную жёлтую точку, возникающую в полном графе. В модели (в городе с уровнем деловой активности $d$ ) она существует тогда, когда проведены обе пересекающиеся в ней линии (прошли обе целевые встречи). Вероятность того, что произвольная линия проведена, есть отношение количества линий в модели к количеству линий в полном графе, то есть

$\frac{Nd/2}{N(N-1)/2}=\frac{d}{N-1}\approx \frac{d}{N}.$

Если предположить, что встречи между любыми двумя парами жителей не зависят друг от друга (что вполне реалистично при больших $N$ ), то вероятность того, что произвольная жёлтая точка из полного графа существует и в модели, равна

$\frac{d}{N} \times \frac{d}{N} = \left(\frac{d}{N}\right)^2.$

Следовательно, при уровне деловой активности $d$ суммарное количество жёлтых точек есть

$\frac{1}{24} N^4 \times \left(\frac{d}{N}\right)^2=\frac{1}{24} N^2 d^2.$

Поскольку случайные встречи возникают между людьми как по пути на целевую встречу, так и на обратном пути домой, то количество потенциальных случайных встреч в два раза больше количества жёлтых точек и составляет $N^2 d^2 /12$ . Однако не все эти потенциальные случайные встречи реализуются — если пути людей пересекаются, они могут оказаться в одно время в одном месте (в жёлтой точке) лишь с некоторой вероятностью, пусть $\gamma_0$ — её усреднённое значение. От каких переменных зависит эта вероятность?

Предположим, что радиус поражения коронавирусной инфекции равен $r$ , то есть здоровый человек может заразиться, только если находится на расстоянии меньшем или равным $r$ от больного (при этом заражение происходит с вероятностью $p$ ). Следовательно, площадь жёлтой точки $S$ , одновременное нахождение в которой считается случайной встречей, пропорциональна $r^2$ . Предположим также, что в среднем по пути на целевую встречу (также как и на обратном пути домой) человек преодолевает расстояние $l$ , двигаясь со средней скоростью $v$ . Тогда суммарная продолжительность всех поездок, совершаемых одним человеком в течение дня, есть $d\times 2l/v$ . Наконец, для простоты предположим, что одна случайная встреча длится в среднем одну секунду. Рассмотрим потенциальную случайную встречу, которая может произойти между людьми A и C в жёлтой точке ABCD, когда A будет направляться на целевую встречу с B, а C — на встречу с D (см. рис 6 слева). Вероятность того, что в произвольную секунду человек A находится в пути, составляет

$\frac{d\times 2l/v}{n},$

где $n$ — количество секунд в сутках. Только в одном случае из $d$ человек A направляется на встречу именно с C (либо едет с неё домой). Вероятность того, что в этом случае в данную секунду A находится именно в точке ABCD, примерно равна $2r/l$ . Значит, в произвольную секунду человек A находится в точке ABCD с вероятностью

$\frac{d\times 2l/v}{n} \times \frac{1}{d} \times \frac{2r}{l}.$

Квадрат этой величины есть вероятность того, что в данную секунду в точке ABCD окажутся и A, и C. Наконец, поскольку в сутках всего $n$ секунд, то вероятность того, что возможная случайная встреча между A и C произойдёт в течение дня, равна

$\gamma_0=n\times \left(\frac{d\times 2l/v}{n} \times \frac{1}{d} \times \frac{2r}{l}\right)^2=\frac{16}{n}\times\frac{r^2}{v^2}.$

Итак, вероятность реализации потенциальной случайной встречи $\gamma_0$ прямо пропорциональна площади жёлтой точки $S$ , поскольку включает множитель $r^2$ , и обратно пропорциональна квадрату скорости передвижения жителей $v$ . Что намного важнее, $\gamma_0$ не зависит от других интересующих нас переменных, таких как $N$ и $d$ , поэтому мы можем рассматривать её как независимую константу. Вспомним, что количество потенциальных случайных встреч равно $N^2 d^2 /12$ . Тогда суммарное количество реализующихся случайных встреч составляет

$C=\frac{1}{12} N^2 d^2 \times \gamma_0.$

Положив $\gamma_0 /12 = \gamma$ , получим необходимую формулу:

$C=\gamma N^2 d^2.$

Таким образом, $\gamma$ есть делённая на 12 средняя вероятность того, что произвольная встреча, которая потенциально может случайно произойти между двумя людьми, действительно реализуется. [Чтобы вернуться к началу этого рассуждения, нажмите сюда.]

За сутки между $N$ людьми реально происходит $C$ случайных встреч. В каком количестве случайных встреч ( $c$ ) оказывается задействован один человек? Если каждый из $N$ человек участвует в среднем в $c$ случайных встречах, то общее количество случайных встреч (то есть $C$ ) должно быть равно $Nc /2$ (опять же в каждой встрече задействованы два человека, поэтому делим на делим на 2, чтобы избежать двойного подсчёта). Значит,

$C=Nc /2 .$

Вывод: за сутки один человек случайно встречает в среднем

$c= \frac{C}{N /2} =\frac{\gamma N^2 d^2}{N /2}= 2 \gamma N d^2$

человек. Заметим, что эта важнейшая величина зависит линейно от численности населения и квадратично от деловой активности.

III.2. С каким темпом в обществе распространяется инфекция?

Всё готово для того, чтобы смоделировать темпы распространения вируса. В статье «Карантиномика. Часть 1» мы ввели величину $W$ — число больных (суммарное количество инфицированных в настоящий момент людей, active cases, не число выявленных больных, а реальное число больных). Давайте разберёмся, как число больных меняется с каждым днём?

Пусть $\Delta W$ — прирост числа больных за сутки. Поскольку больные — это те, кто заразился и ещё не выздоровел, то суточный прирост числа больных есть количество новых заражений за сутки за вычетом количества закрытых за сутки случаев (закрытыми случаями считаются новые выздоровления, а также летальные исходы). Например, если за день заразилось 1000 человек и закрылись 100 случаев, то

$\Delta W =+1000-100=+900$

(число больных $W$ растёт). Если же, благодаря карантину, за день заразилось только 80 человек, а закрылось опять 100 случаев, то

$\Delta W=+80-100=-20$

(число больных $W$ уменьшается). Чтобы немного разрядить обстановку, отметим, что обычно большая часть закрывающихся случаев — это выздоровления; для коронавируса доля летальных исходов равна примерно 1%.

Чему равно количество новых заражений за сутки? Раз в начале дня число больных в обществе есть $W$ и каждый больной участвует в $c=2\gamma N d^2$ случайных встречах, то суммарно все больные встречают $Wc$ человек. Вероятность того, что в произвольной случайной встрече больной человек случайно встретит здорового, равна отношению количества здоровых людей к численности населения:

$\frac{N-W}{N-1}\approx \frac{N-W}{N}.$

Если больной встречает здорового, то с вероятностью $p$ происходит новое заражение. Значит, за сутки количество новых заражений составляет

$Wc \left( \frac{N-W}{N}\right)p= W\times 2\gamma N d^2 \left(\frac{N-W}{N}\right)p .$

Чему равно количество случаев, закрываемых в течение суток? Пусть $T$ — средняя продолжительность болезни (срок с момента заражения до выздоровления либо летального исхода). Поскольку каждый заразившийся пребывает в статусе больного около $T$ дней, то за сутки в среднем должна закрываться доля $\alpha=1/T$ всех активных случаев. Это означает, что количество случаев, закрывающихся за сутки, примерно равно

$W \times \alpha= W \times \frac{1}{T}.$

Итак, суточный прирост числа больных есть количество новых заражений за вычетом количества новых закрытых случаев:

$\Delta W= W\times 2\gamma N d^2 \left(\frac{N-W}{N}\right)p - W \times \frac{1}{T} .$

Если распространение инфекции не сдерживается, то число больных $W$ растёт стремительно и приближается к численности населения $N$ . В этом случае множитель $(N-W)/N$ играет значительную роль в формировании суточного прироста числа больных ( $\Delta W$ ), поскольку при большом числе больных большинство случайных встреч происходит между уже заразившимися людьми, а потому темпы распространения вируса замедляются. Сценарий всеобщего заражения хорошо описан в этом видео, посвящённом экспоненциальному и логистическому росту. На рис. 1 он проиллюстрирован красной кривой.

рис. 1 (из части 1): Динамика числа больных W при бездействии и сдерживании. M — количество пациентов, которое система здравоохранения страны способна обслуживать.

Чтобы не допустить такое развитие событий, вводятся различные профилактические меры (карантин одна из них). Важно, что чем раньше вводится жёсткий карантин, тем меньше времени он длится: поскольку число больных невелико, то вероятность того, что все новые случаи заражения будут выявлены за некоторый промежуток времени намного больше, чем при большом числе больных. При недостаточно жёстком сдерживании, число больных растёт экспоненциально, с каждым днём увеличивая продолжительность того самого жёсткого карантина, который рано или поздно всё равно придётся ввести.

Далее мы будем предполагать позитивный сценарий сдерживания, при котором обществу удаётся постепенно свести число больных $W$ к нулю ( $\omega<0$ ) и тем самым погасить эпидемию в отсутствие вакцины (фиолетовая кривая на рис. 1). Если даже на пике эпидемии число больных будет относительно невелико в сравнении с численностью населения $N$ (как это произошло, например, в Китае), то множитель $(N-W)/N$ будет практически неотличим от 1 на протяжении всей эпидемии, поэтому им можно пренебречь:

$\Delta W= W\times 2\gamma N d^2 \left(\frac{N-W}{N}\right)p -W \times \frac{1}{T} \approx$

$\approx W\times 2\gamma N d^2 p - W \times \frac{1}{T} .$

Поделим обе стороны уравнения на число больных $W$ :

$\frac{\Delta W}{ W } = 2\gamma N d^2 p - \frac{1}{T} .$

Слева от знака равно стоит отношение суточного прироста числа больных $\Delta W$ к числу больных в начале дня $W$ , то есть суточные темпы роста числа больных:

$\omega=\frac{\Delta W}{W}.$

Таким образом, мы получили ключевое уравнение, демонстрирующее, как темпы распространения вируса зависят от различных переменных:

$\boxed{ \omega= 2\gamma N d^2 p - \frac{1}{T}.}$

III.3. Как сдержать эпидемию с минимальным экономическим ущербом?

Вкратце построенную модель карантинной экономики можно записать так:

$\begin{cases}Y=e\times\frac{Nd}{2}\\ \omega= 2\gamma N d^2 p - \frac{1}{T} \end{cases},$

где первое уравнение (макроэкономическое) описывает формирование ВВП, а второе (эпидемиологическое) — темпов распространения инфекции.

На рис. 8 изображены зависимости между основными переменными. Жёлтым отмечены эпидемиологические переменные (влияющие на число больных $W$ посредством его темпов роста $\omega$ ), красным — макроэкономические переменные (определяющие ВВП $Y$ и темпы экономического роста $g$ ). В обе категории входят две переменные — численность населения $N$ и уровень экономической активности $d$ (отмечены оранжевым), эти переменные влияют и на число больных, и на ВВП.

рис. 8: Все изображённые зависимости между переменными положительные (например, если T снижается, то ω падает).

Неизбежное целенаправленное снижение деловой активности $d$ (среднего количества целевых встреч, которое за день проводит один человек) уменьшает суточные темпы роста числа больных $\omega$ , но при этом сокращается и ВВП. С другой стороны, уменьшение срока болезни $T$ , снижение вероятности заражения при случайном контакте с больным $p$ и частоты случайных встреч $\gamma_0$ приводит к снижению темпов распространения вируса $\omega$ и никак не влияет на ВВП! Вывод: чем активнее используются медицинские ( $T$ ), санитарные ( $p$ ) и логистические ( $\gamma_0$ ) меры профилактики, тем меньше обществу придётся снижать уровень экономической активности $d$ и тем меньшая часть национального дохода будет потеряна. Более подробно эти меры будут описаны в разделе III.4.

В чём непосредственная причина сокращения ВВП? Поскольку карантин означает снижение экономической активности населения ( $d$ ), то падает совокупный спрос на товары и услуги, производимые в экономике. Как следствие, уменьшается и совокупное предложение: фирмы сокращают производство (ВВП). Это приводит к снижению совокупного национального дохода и среднего душевого дохода в стране. Начинается рецессия — экономический спад. Таким образом, рассматриваемая модель — это анализ экономики со стороны совокупного спроса.

III.4. Почему карантин так эффективен?

Какие меры и в каких объёмах вводить? Ответить на этот вопрос можно с помощью выведенного уравнения для темпов роста числа больных:

$\omega= 2\gamma N d^2 p - \frac{1}{T}.$

При бездействии темпы распространения вируса есть некоторая положительная константа. Чтобы число больных $W$ уменьшалось, необходимо снизить эти темпы и поддерживать их отрицательными в течение достаточно долгого времени. Если просто свести их к нулю, то рост эпидемии подавить удастся, но число больных будет держаться на некотором постоянном уровне. Итак, цель общества такова:

$\omega= 2\gamma N d^2 p - \frac{1}{T}\le 0.$

Преобразовав неравенство, получим инструкцию, согласно которой общество должно действовать, чтобы сдержать и погасить эпидемию:

$\boxed{ \gamma d^2 p T \le \frac{1}{2N}.}$

Задача — уменьшить значения подконтрольных нам переменных $T$ , $\gamma$ , $p$ и $d$ настолько, чтобы величина $\gamma d^2 p T$ была не больше максимального допустимого значения $0,5/N$ (при котором эпидемия едва сдерживается). Величину $\gamma d^2 p T$ можно условно считать «мощностью» эпидемии: чем сильнее профилактические меры, тем меньше мощность эпидемии.

При прочих равных, чем больше население $N$ , тем меньше максимальное допустимое значение $0,5/N$ мощности эпидемии, тем более серьёзными должны быть профилактические меры: если численность населения в городе X в 2 раза больше, чем в городе Z, то в результате внедрения мер мощность эпидемии в городе X должна стать в 2 раза меньше, чем в Z. Вывод: в Москве, крупнейшем городе Европы, профилактические меры должны быть очень значительными. В менее населённых пунктах сдерживание эпидемии достижимо за счёт менее сильных профилактических мер.

Глобально мощность эпидемии может быть снижена до приемлемого уровня с помощью следующих типов профилактических мер (использованные ниже названия мер могут не совпадать с принятыми медицинскими терминами):

Медицинские меры: увеличение эффективности лечения. Снижают средний срок лечения $T$ , воздействуя на мощность эпидемии $\gamma d^2 p T$ линейно (если срок лечения сокращается на 10%, то мощность эпидемии падает тоже на 10%).
Санитарные меры: регулярное мытьё рук с мылом, отказ от рукопожатий, ношение масок и перчаток, грамотное чиханье и т.п. Снижают вероятность заражения при случайном контакте с больным $p$ , воздействуя на мощность эпидемии линейно.
Логистические меры: избегание людных мест, поездок в часы пик, потенциальных случайных встреч, а также увеличение скорости передвижения людей. Снижают частоту случайных встреч $\gamma_0$ , а значит, и коэффициент $\gamma=\gamma_0 /12$ , воздействуя на мощность эпидемии линейно (за исключением средней скорости передвижения жителей $v$ , влияющей на мощность квадратично).
Карантинные меры: отмена деловых и дружеских встреч, пребывание дома, самоизоляция и жёсткий карантин, а также выявление и изоляция больных. Снижают уровень экономической активности $d$ (среднее количество целевых встреч, совершаемых одним человеком за день), воздействуя на мощность эпидемии $\gamma d^2 p T$ квадратично (если деловая активность снижается на 10%, то мощность эпидемии падает примерно на 20% — см. рис. 9).

рис. 9: Снижение деловой активности в 2 раза приводит к сокращению новых случаев заражения в 4 раза (**квадратичный эффект**). Слева: жители города совершают в среднем по 4 целевые встречи в день, отчего количество потенциальных случайных встреч (жёлтых точек) равно 64. Справа: жители снижают деловую активность в среднем до 2 целевых встреч в день, в результате чего количество потенциальных случайных встреч сокращается до 15.

Квадратичный эффект виден и непосредственно из эпидемиологического уравнения

$\omega= 2\gamma N d^2 p - \frac{1}{T},$

в которое переменная $d$ входит во второй степени. Вывод: карантинные меры наиболее эффективны в борьбе с эпидемией коронавируса, так как уменьшают мощность эпидемии сильнее других типов профилактики. Самое время вспомнить, что на ВВП

$Y=e\times \frac{Nd}{2}$

снижение деловой активности $d$ воздействует лишь линейно.

IV. Итоги: что делать?

Победить эпидемию реально: для этого нужно сделать темпы распространения коронавируса отрицательными с помощью достаточно сильной комбинации разных профилактических мер: медицинских, санитарных, логистических и карантинных.
Чем больше население города, тем больше пакет профилактических мер, достаточных для сдерживания эпидемии.
Чем жёстче профилактические меры, тем быстрее закончится эпидемия.
Из всех профилактических мер наиболее эффективен карантин, поскольку он бьёт по мощности эпидемии с квадратичным эффектом.
Неизбежным следствием карантина является падение ВВП и среднего душевого дохода. Выбор «в пользу экономики» и невведение карантина приведёт к перегруженности системы здравоохранения и кратно большему числу летальных исходов.
Если жители серьёзно относятся к личной гигиене и стараются избегать встреч со случайными людьми, а инвестиции в медицинские исследования способствуют более эффективному лечению, то экономический ущерб может быть сокращён за счёт выборочного ослабления карантинных мер.
Чем позже вводится карантин, тем дольше он продлится. И наоборот, если люди окажутся изолированы друг от друга тогда, когда число инфицированных ещё невелико, то эпидемию получится погасить в более короткий срок.
Что делать? «Закрывать» экономику на карантин. Чем раньше мы это сделаем, тем меньше будет жертв: как человеческих, так и экономических.

Заключение. Президент объявил неделю с 28 марта по 5 апреля нерабочей. Мэр Москвы закрыл для посещения большинство общественных мест. Из этой статьи Вы узнали, как провести эту неделю наиболее мудро — по возможности не выходить из дома. Помните о квадратичном эффекте и будьте здоровы!

Автор не приветствует распространение коронавируса, но приветствует распространение этого материала. Спасибо.

V. Ссылки (часть 2)

В первую очередь автор рекомендует обратить внимание на ссылки, отмеченные знаком (!). Также см. Ссылки (часть 1).

Петиция и социологические опросы:

(!) Подписать петицию «Открытое письмо общественных деятелей, медицинских профессионалов и граждан РФ по принятию экстренных мер по борьбе с эпидемией коронавируса в России» на сайте change.org
Результаты опроса читателей «Медузы» про панику вокруг коронавируса, проведённого 17-23 марта 2020 г. (59,5 тыс. респондентов): 44% респондентов предпринимают меры по самоизоляции (вопрос 4).
Результаты опроса общественного мнения «Пандемия коронавируса», проведённого Левада-центром 19-25 марта 2020 года, на сайте levada.ru: 15% россиян остаются дома и не посещают работу или учебу в связи с угрозой распространения коронавируса.

Выборочные экономические новости и прочие материалы:

(!) Интервью экономиста Сергея Гуриева о последствиях эпидемии коронавируса и нефтяных шоков на российскую и мировую экономику на сайте thebell.io
Статья «МВФ анонсировал всемирную рецессию» на сайте thebell.io
Перевод статьи историка Юваля Ноя Харари «Мир после коронавируса» на сайте bykvu.com (оригинал на сайте ft.com)
(!) Видео «Simulating an epidemic» на Youtube-канале «3Blue1Brown»
(!) Видео «Epidemic, Endemic, and Eradication Simulations» на Youtube-канале «Primer»
Симуляция, демонстрирующая, как карантин сдерживает распространение инфекции, из статьи «Social distancing» на Википедии

Материалы, ранее упомянутые в этой статье:

Статья «Complete graph» на Википедии
Статья «Биномиальный коэффициент» на Википедии
Видео «Circle Division Solution» на Youtube-канале «3Blue1Brown»
Статья об оценке летальности коронавируса на сайте meduza.io
(!) Видео «Exponential growth and epidemics» на Youtube-канале «3Blue1Brown»
Статья «Логистическое уравнение» на Википедии
Статья «Equation of exchange» на Википедии
Пост мэра Москвы «Коронавирус. Закрытие ресторанов и парков» на сайте sobyanin.ru