Законы Госсена

В количественной теории полезности есть два утверждения, называемых законами Госсена — в честь их открывателя, прусского экономиста Германа Генриха Госсена (1810-1858). Первый закон — принцип убывающей предельной полезности — основывается на эмпирических данных и по сути является аксиомой микроэкономики. Второй — эквимаржинальный принцип оптимального выбора — выводится из соображений максимизации полезности.

Первый закон Госсена. По мере увеличения объёма потребления предельная (дополнительная) полезность каждой следующей потреблённой единицы блага снижается:

$TU''_{xx}=(MU_X)'_x<0.$

Графически это означает, что количественная функция общей полезности $TU$ является выпуклой.

Второй закон Госсена. Полезность $TU(A)$ , получаемая потребителем, максимальна, если потребляемый им товарный набор $A^\star=(x^\star, y^\star, z^\star, \dots)$ удовлетворяет следующему условию: для любой пары покупаемых благ $X$ и $Y$ и любого непокупаемого блага $Z$ выполнено

$\frac{ MU_X(A ^\star ) }{P_X}= \frac{ MU_Y(A ^\star ) }{P_Y} = C \ge \frac{MU_Z(A ^\star )}{P_Z},$

где $P_X$ , $P_Y$ и $P_Z$ — цены соответствующих благ, а $C=const>0$ .

В порядковой теории полезности (лидирующей в настоящее время) первый закон Госсена не выполняется: поскольку функция полезности $u(A)$ отражает не количество получаемой полезности, а всего лишь порядок предпочтения разных товарных наборов, то она вовсе не обязана быть выпуклой. К порядковой функции полезности $u$ всегда можно применить любое положительное монотонное преобразование $g$ , так как порядок отражаемых ею предпочтений при этом не изменится:

$u_1=g(u).$

При таких преобразованиях обычно искажаются соотношения между предельными полезностями разных количеств одного и того же блага $X$ , а значит функция полезности $u$ из выпуклой вполне может стать вогнутой, или наоборот (соответственно, предельная полезность $MU_X$ вовсе не обязательно убывает с ростом $x$ ). Поэтому в порядковой теории само понятие предельной полезности оказывается лишённым смысла, отчего вместо закона убывающей предельной полезности (первого закона Госсена) приходится вводить аналогичное утверждение — аксиому убывающей предельной нормы замещения MRS.

Любопытно, что несмотря на это, второй закон Госсена по-прежнему остаётся актуальным. Действительно, в порядковой теории полезности (так же как в количественной) уравнение

$\frac{MU_X(A ^\star )}{MU_Y (A ^\star ) }=\frac{P_X}{P_Y}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{ MU_X(A ^\star ) }{P_X}= \frac{ MU_Y(A ^\star ) }{P_Y}$

является условием касания кривой безразличия и линии бюджетного ограничения, то есть максимизации полезности потребителя (внутреннего решения его оптимизационной задачи). Выходит, что хотя предельная полезность $MU_X$ отдельно взятого блага $X$ и не имеет смысла, имеет смысл отношение предельных полезностей разных благ $X$ и $Y$ , то есть величина

$MRS_{XY}(A)= \frac{MU_X(A)}{MU_Y (A) } .$

Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, давайте докажем, что применение положительного монотонного преобразования $g$ к порядковой функции полезности $u$ не имеет никакого эффекта на функцию предельной нормы замещения $MRS_{XY}(A)$ . Таким образом, нам нужно продемонстрировать, что для новой функции $u_1=g(u)$ функция $MRS_{XY}$ (предельная норма замещения блага $Y$ благом $X$ ) точно такая же, как и для исходной функции $u$ . Вот как это можно сделать, используя правило дифференцирования сложной функции: для любого товарного набора $A=(x, y, \dots)$

$\frac{MU_{ 1X }}{ MU_{1 Y }} = \frac{(u_1)'_x}{(u_1)'_y}= \frac{g'_x(u)}{g'_y(u)} = \frac{g'_u \times u'_x}{ g'_u \times u'_y }= \frac{(u)'_x}{(u)'_y} = \frac{MU_{ X }}{ MU_{ Y }} ,$

то есть, действительно,

$MRS_{1XY} (A) = MRS_{XY} (A).$

И в количественной, и в порядковой теории полезности часто используется такое утверждение: «Если MRS убывает, то кривые безразличия являются вогнутыми». В курсах и учебниках по микроэкономике доказательство этого утверждения обычно опускают. Поэтому мы приводим его здесь.